Das Geburtstagsproblem

Natürlich habe ich jeden möglichen Respekt für die Statistik. Es gibt eine ganze Reihe an wissenschaftlichen Disziplinen, die nicht ohne sie auskommen würden. Scheinbar gehört dazu nicht nur die Quantenmechanik, sondern auch die Psychologie? Ich scherze nur, klar leuchtet mir das ein.

Das Besondere an Statistik ist, dass wir irgendwie nicht dafür gebaut sind. Ein Beispiel: Es gibt im Englischen die sogenannte „Gambler’s Fallacy“, was auf Deutsch manchmal als „Spielerfehlschluss“ eingedeutscht wird, manchmal aber auch Monte-Carlo-Effekt genannt wird.

Nehmen wir das denkbar einfachste Spiel. Ein Würfel. Gewonnen hat, wer als erster eine Sechs würfelt. Angenommen Du würfelst und würfelst und würfelst und auch nach dreißig Versuchen hast Du noch keine sechs gewürfelt – dann gehst Du doch davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit jetzt höher ist, dass sie bald kommt.

So besessen ist unser Hirn davon, Muster zu entdecken. Ist aber natürlich Unsinn. Bei jedem Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit ein Sechstel, dass eine Sechs fällt. Immer wieder und wieder. Da ist keine Schicksalsmacht, die sich Notizen macht und auch der Würfel merkt sich nicht, wie viele Augen er wann gezeigt hat.

Ein besonders beeindruckendes statistisches Problem ist aber das sogenannte Geburtstagsproblem. Ich habe ja an einem Tag im Jahr Geburtstag und so geht es Dir mit hoher Wahrscheinlichkeit auch. Ich kannte übrigens eineiige Zwillinge, die an zwei verschiedenen Tagen Geburtstag hatten, obwohl zwischen den Entbindungen nur 30 Minuten lagen. Aber: Abschwiff.

Das Geburtstagsproblem stellt folgende Frage: Wie viele zufällig ausgewählte Personen muss man in einen Raum stellen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bei 50 Prozent liegt?

Noch etwas präziser: Es geht nicht darum, dass noch eine andere Person am gleichen Tag wie Du Geburtstag hat, sondern darum, wann sich zuerst irgendein Paar im Raum den gleichen Geburtstag teilt.

Als Person ohne Statistik-Kenntnisse würde man jetzt annehmen: Na ja, das Jahr hat 365 Tage. Davon ist 182 gut die Hälfte, also braucht man eben 183 Personen. Fertig. Problem gelöst.

Das ist aber falsch. Die richtige Lösung ist: 23. Sind 23 zufällig ausgewählte Menschen in einem Raum, ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am gleichen Tag Geburtstag haben 50:50. Unglaublich, oder?

Bei 23 Personen gibt es nicht nur 23 Vergleiche, sondern 23 x 22 Kombinationen, geteilt durch zwei, wegen Paar. Das heißt, es gibt 253 mögliche Paarkombinationen. Bei jedem einzelnen Paar ist es unwahrscheinlich, dass sie am gleichen Tag geboren wurden, aber bei 253 Paaren ist es gut möglich.

Darum liegt die Wahrscheinlichkeit bei 41 Personen schon bei 90 Prozent, bei 57 schon bei 99 Prozent und bei 70 Personen bei 99,9 Prozent. Denn da gibt es 2.415 mögliche Paare.

Man könnte von dieser Zahl – also die 23 – sogar behaupten, dass sie experimentell nachgewiesen ist. Und zwar durch Fußballer. Nur Männer in diesem Fall. In einem WM-Kader sind 23 Spieler aufgestellt und bei der WM 2014 hat sich jemand die Geburtstage angeschaut: In mehr als der Hälfte aller Mannschaften gab es ein Geburtstags-Paar.

Gut, ob das wirklich eine zufällige Auswahl ist, könnte man bemängeln. Alles junge Männer, die Fußball spielen – vielleicht gibt es da ein Häufung für beispielsweise Winter-Geburtstage. Who knows?

Jetzt wäre die interessante Frage, zumindest für mich: Wie berechnet man diese Wahrscheinlichkeit? Das ist schwierig zu erklären, hoffentlich kriege ich es hin.

Wir rechnen umgekehrt, das heißt, wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen im Raum verschiedene Geburtstage haben.

Rufen wir Person Nummer eins in den Raum. Sie kann an jedem Tag Geburtstag haben. Es gibt ja noch keine andere Person, mit der sie sozusagen kollidieren könnte. Also rechnen wir 365 durch 365, das ergibt 1.

Bei Person zwei müssen wir den Zähler um eins verkleinern, denn ein Tag ist ja schon besetzt und wir wollen ja berechnen, dass kein Zwilling entsteht. Wie gesagt, wir machen das umgekehrt.

Bei Person zwei berechnen wir also 364 durch 365, das wäre dann 0,997; bei Person drei sind wir dann bei 363 durch 365 und so weiter und so fort, am Schluss sind wir dann bei 343 durch 365. 23 Personen, 23 verschiedene Brüche.

Die multiplizieren wir jetzt. Warum? Weil wir wollen, dass alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

Person 2 verschieden von Person 1 UND Person 3 verschieden von beiden UND Person 4 verschieden von allen dreien …

Dieses „UND“ ist das Signal zum Multiplizieren. Jeder Bruch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die jeweils neue Person den bisherigen Erfolg nicht kaputt macht. Man verkettet also lauter „und es klappt weiterhin“-Schritte. Manchmal kommt man schneller ans Ziel, wenn man ausrechnet, wie oft etwas nicht passiert.

Wir multiplizieren also alle 23 Brüche und erhalten als Ergebnis 0,493. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 23 Personen im Raum kein Paar mit dem gleichen Geburtstag dabei ist. Weil wir das ursprünglich aber andersrum wissen wollten, drehen wir das jetzt wieder um: 1 minus 0,493 ist 0,507. Die Wahrscheinlichkeit, DASS bei 23 Personen ein Geburtstags-Paar entstanden ist, liegt also ein kleines bisschen über 50 Prozent.

Jetzt höre ich Menschen mit einer Mathematik-Allergie aufstöhnen: Und wieso ist das wichtig? Gibt es da eine Anwendung im richtigen Leben? Und die Antwort ist: Leider ja. Denn das Geburtstags-Problem dient Hacker*innen für den sogenannten Geburtstags-Angriff. Es geht dabei um Kryptografie. Um Verschlüsselung.

Als man begann digitale Daten zu übertragen, lief das oft über Telefonleitungen. Eine nicht sehr verlässliche Technologie. Also kam jemand auf die Idee, jedem Zahlenblock von, sagen wir einmal, sieben Zahlen einen hinzuzufügen, der die Quersumme der ersten sieben war. Auf der Empfangsseite rechnete man das zurück, und wenn diese Rechnung nicht aufging, war klar, dass es zu Störungen gekommen war.

Etwas Ähnliches, bloß viel komplizierter, gibt es in der Kryptografie. Stellen wir uns einfach eine Verschlüsselungsmaschine vor, die zu jeder Datei einen eigenen Fingerabdruck generiert. Hash nennt sich das. Ein Original erhält einen Fingerabdruck. Das gleiche Original erhält auch immer den gleichen Fingerabdruck. Verändert sich im Original auch nur ein Komma führt das zu einem komplett anderen Fingerabdruck.

Ach, auch wichtig: Aus dem Fingerabdruck kann man nicht das Original wieder herstellen. Man muss also nur den Fingerabdruck anschauen, um zu wissen, ob eine Datei verändert wurde, oder ob es sich um’s Original handelt.

Die Anzahl der Fingerabdrücke ist aber begrenzt, die Zahl der Originale theoretisch unendlich. Früher oder später haben zwei verschiedene Originale den gleichen Fingerabdruck. Das freut Hacker*innen, weil man jetzt diese Originale austauschen kann, ohne dass die Prüfung Alarm schlägt.

Jetzt gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass diese Verschlüsselungsmaschine genau 365 verschiedene Fingerabdrücke produzieren kann. Wie viele verschiedene Originale muss ein Hacker oder eine Hackerin prüfen, bis die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Originale den gleichen Fingerabdruck haben, bei 50 Prozent ist? Genau, nur 23 Stück.

Eine solche Methode war zum Beispiel MD5, der „Message-Digest Algorithm 5“, der für jede Datei einen 128bit-Fingerabdruck erzeugte, angezeigt durch 32 Buchstaben und Ziffern. Der wurde vom Geburtstagsproblem eingeholt und gilt mittlerweile als geknackt. Der Hack braucht auf modernen Rechnern nicht einmal eine Sekunde, bis er eine dieser sogenannten Kollisionen findet. Für die Sicherheit ist er wertlos geworden.

Mein persönliches Geburtstagsproblem ist, dass es am 29. November ganz verlässlich immer Scheiß-Wetter hat. Ach, an dem Tag hast Du auch Geburtstag? Na, siehste!