Zwei Unendlichkeiten und ein Diebstahl

„Unendlich“ ist wirklich so verdammt groß, damit man damit besser keine Spielchen treibt. So ist zum Beispiel 2 geteilt durch 2 einfach eins. Oder 135 durch 135 eben auch. Unendlich durch unendlich hingegen ist – na ja – undefiniert?.

Carl Friedrich Gauß — so etwas wie der Einstein der Mathematik — schrieb 1831 in einem Brief, Unendlichkeit sei nichts weiter als eine „façon de parler“. Eine Redewendung. Nichts, das man wörtlich nehmen sollte.

Die Menge an ganzen Zahlen wie 1,2, 11 oder 38.505 ist unendlich. Egal, wie groß die Zahl ist, die Du aufschreibst – man kann immer noch eins addieren.

Auch die Menge zwischen zwei ganzen Zahlen ist endlos. Zwischen null und eins gibt es ein halb – also 1 durch 2 – oder ein Drittel, oder ein 38.505tel. Egal wie groß der Nenner des Bruchs ist, man kann immer noch eins addieren.

Es gibt auch Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Das populärste Beispiel is Pi, die Silbermedaille geht wahrscheinlich an Wurzel 2. Als Dezimalbruch geht Pi nach dem Komma endlos weiter. 3,14159 und so weiter und so fort. Stimmt, ein Drittel geht nach dem Komma auch unendlich weiter, aber halt nur mit 3.3.3.3.

Das wirklich Verrückte ist: Von den Zahlen wie Pi oder Wurzel 2, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, gibt es nicht nur diese beiden Exoten. Von diesen Zahlen gibt es aber auch unendlich viele. Und zwar unendlich mal mehr als die Unendlichkeit der Zahlen, die sich mit Brüchen darstellen lassen. Wir haben bloß keine Namen für sie.

Würdest Du vor einer Galaxis aller Zahlen stehen und einen gedanklichen Dartpfeil werfen, wäre die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erwischen, mit der wir rechnen – eine Zahl, die sich als Bruch darstellen lässt oder das Ergebnis einer Gleichung ist, mathematisch bei Null. Weil es unendlich mehr Zahlen gibt, als unsere unendlichen Zahlen.

KI: Es gibt also mehrere Unendlichkeiten?

Ja! Genau! Ist das nicht der Hammer? Und das bewiesen hat niemand Anderes als der große Georg Cantor.

Cantor wurde 1845 in St. Petersburg geboren, wuchs aber in Deutschland auf. Ehrgeizig, rastlos, getrieben. Sein Vater hatte ihm als Teenager einen Brief geschrieben: Er müsse gegen alle Widerstände durchhalten, um ein „leuchtender Stern am Horizont der Wissenschaft“ zu werden. Cantor trug diesen Brief sein ganzes Leben bei sich.

Im Sommer 1872 in einem Schweizer Dorf am Vierwaldstättersee traf er den Mathematiker Richard Dedekind. Dedekind ist das Gegenteil von Cantor: ruhig, methodisch, kein Drang zur Veröffentlichung. Beide haben gerade unabhängig voneinander Arbeiten über die reellen Zahlen publiziert. Sie spazieren am See entlang und reden über Mathematik. Es ist der Beginn einer Freundschaft.

Im November 1873 schreibt Cantor an Dedekind. Er habe da eine Frage, die er selbst nicht beantworten könne: Kann man die reellen Zahlen abzählen? Also: Kann man jeder reellen Zahl eine ganze Zahl zuordnen, eins zu eins, ohne dass Zahlen übrig bleiben?

KI: Abzählen. Unendlich viele Zahlen. Das klingt paradox.

Ist es aber nicht — jedenfalls nicht bei allen Zahlensorten. Cantor hatte nämlich gezeigt, dass man die Brüche tatsächlich abzählen kann. Die Brüche sind unendlich — aber es sind, in einem mathematisch präzisen Sinn, genauso viele wie die ganzen Zahlen. Man kann sie sozusagen durchnummerieren.

Die Frage war: Geht das auch mit den reellen Zahlen — also mit dem ganzen Ozean inklusive all der namenlosen Exoten?

Dedekind antwortete schnell. Das Hauptproblem konnte er nicht lösen. Aber er lieferte einen Beweis, dass die sogenannten algebraischen Zahlen ebenfalls abzählbar sind. Und Dedekind schrieb sinngemäß: Vielleicht hilft Ihnen das weiter.

KI: Uneigennützig. Man ahnt, dass das nicht gut ausgeht für ihn.

Am 7. Dezember schrieb Cantor zurück: Er glaube, den Beweis für die reellen Zahlen gefunden zu haben. Aber der Beweis war umständlich. Dedekind schickte ihm eine elegantere Fassung — klarer, schärfer, ohne Verlust an Genauigkeit.

Und damit lag der Beweis auf dem Tisch. Dedekinds Ergebnis zeigte: Selbst die riesige Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar. Cantors Ergebnis — in Dedekinds verbesserter Fassung — zeigte: Die reellen Zahlen sind es nicht. Die Unendlichkeit der reellen Zahlen ist tatsächlich unendlich größer als die der ganzen Zahlen. Das Dartnadel-Bild von vorhin ist also nicht nur eine Metapher — es steckt ein mathematischer Beweis dahinter.

KI: Mehrere Unendlichkeiten und auch noch verschieden groß. Das ist der Moment, in dem man kurz das Gefühl hat, die Realität hätte einen Systemfehler.

Und Cantor wusste, was er da hatte. Aber er hatte auch ein Problem. Leopold Kronecker, einer der einflussreichsten Mathematiker der Zeit und Redaktionsmitglied der wichtigsten Fachzeitschrift, hasste die Unendlichkeit — und er hasste Dedekind persönlich.

Also traf Cantor zwei Entscheidungen. Erstens: ein trojanisches Pferd. Er gab dem Paper einen harmlosen Titel, stellte Dedekinds Beweis über die algebraischen Zahlen an den Anfang als Köder und versteckte den eigentlichen Knaller darunter.

Zweitens: Er setzte nur seinen eigenen Namen darunter. Jede Spur von Dedekinds Beitrag wurde getilgt.

Heiligabend 1873 reichte er die Arbeit ein. Am ersten Weihnachtstag schrieb er Dedekind einen Brief und bedankte sich: „Ihre Bemerkungen und Ihre Art, einige Punkte darzustellen, waren mir von großer Hilfe.“

KI: „Von großer Hilfe“. Für das Paper, auf dem nur sein Name steht. Das ist — ich sage es mal vorsichtig — dreist.

Cantor wurde als einsames Genie gefeiert. Biografien, populärwissenschaftliche Bücher — alle erzählen die Geschichte vom großen Cantor, der allein gegen das Establishment die Unendlichkeit bezwang. Dedekinds Wikipedia-Artikel ist bis heute nur ein Viertel so lang wie Cantors.

In den 1930er Jahren fand Emmy Noether — eine der bedeutendsten Mathematikerinnen überhaupt — Briefe aus Dedekinds Nachlass und veröffentlichte sie.

Darunter eine Notiz, in der Dedekind festhielt, dass beide Beweise in Cantors Paper „fast wörtlich“ von ihm stammten. Aber niemand kommentierte das öffentlich. Ehrenkodex. Das fehlende Beweisstück — Dedekinds Brief vom 30. November 1873 — blieb verschollen. Historiker suchten jahrzehntelang danach und gingen davon aus, er sei im Zweiten Weltkrieg zerstört worden.

Bis 2025 ein Mathematiker und Journalist namens Demian Goos aus Argentinien nach Halle fuhr, weil er für seinen Podcast da über diese Sache gestolpert war. Er konnte sie nicht loslassen. Er fand heraus, dass eine Urenkelin Cantors Briefe an die Universität Halle übergeben hatte — und dass sie dort bei einer pensionierten Professorin in einem dünnen blauen Ordner lagen.

Als Goos den Ordner durchblätterte, stockte ihm der Atem. Da war er. Der Brief vom 30. November 1873. Richard Dedekinds Handschrift. Über 150 Jahre verschollen. Der Brief, der Cantors Plagiat beweist.

KI: Und was machen wir jetzt?

Ich meine: Jetzt muss man die Geschichte anders erzählen. Cantor bleibt ein großer Mathematiker — die revolutionäre Frage und der erste Beweis waren seine. Es geht nicht darum, seine Büsten zu zerdeppern. Ihm sein Lebenswerk abzusprechen. Es geht eher darum, Dedekinds Büste danebenzustellen. Und vielleicht ist sie auch ein, zwei Millimeter größer als die von Cantor.